考研数学解析复变函数的基本概念

解析函数是复变函数的一个重要概念。复变函数是指定义在复数域上的函数。

解析函数是复变函数的一个重要概念。复变函数是指定义在复数域上的函数。

1. 复数：

复数包括实部和虚部，可以表示为z = x + yi，其中x和y都是实数，i是虚数单位。

2. 复变函数：

复变函数指的是将复数映射到复数的函数，可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v分别是实部和虚部的函数。

3. 解析函数（全纯函数）：

解析函数是指定义在某个复数域上的函数，其在这个域内处处可导。解析函数也满足柯西—黎曼方程，即满足如下条件：

- 在复数域上处处可导

- 在复数域内部实部和虚部的偏导数存在且连续

4. 零点：

对于复变函数f(z)，如果存在复数z使得f(z) = 0，则称z为f的零点。零点也可表示为f(z) = 0的解集。

5. 极限：

对于复变函数f(z)，如果复数z的趋于某一复数a时，f(z)也趋于某一复数L，则称f(z)在z=a处有极限，可表示为lim[z→a]f(z) = L。

6. 级数展开：

复变函数可以表示为级数的形式，常见的级数展开包括泰勒级数展开和劳伦特级数展开。

7. 高阶导数：

对解析函数f(z)，它的高阶导数也可以存在，并且满足柯西—黎曼方程。

以上是考研数学解析复变函数的基本概念，理解这些概念对于学习数学分析和复变函数理论非常重要。